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第3問

nn を与えられた正の整数として、方程式 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1 を解け。
ステップ 5/6: 第四象限の内部を除外する
前のステップ次のステップ
x∈(3π/2,2π):cos⁡nx−sin⁡nx=cos⁡nx+∣sin⁡x∣n<1x\in(3\pi/2,2\pi):\quad \cos^n x-\sin^n x=\cos^n x+|\sin x|^n<1
詳しい解説

この区間では u=cos⁡xu=\cos x、v=∣sin⁡x∣v=|\sin x| とおくと、ともに (0,1)(0,1) にあり u2+v2=1u^2+v^2=1。n=1n=1 なら内部で u+v>1u+v>1。奇数 n≥3n\ge3 なら un+vn<u2+v2=1u^n+v^n<u^2+v^2=1。したがって端点での解は x=3π/2x=3\pi/2 だけである（x=2πx=2\pi は周期上 00 と同じで、2π2\pi 周期である）。