MathLabs

第4問

三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 の内部に点 PP をとる。Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 をそれぞれ PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 と対辺との交点とする。三つの比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} のうち、一つは 22 以下で、一つは 22 以上であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 三比の平均を使う
前のステップ次のステップ
min⁡iri≤13≤max⁡iri\min_i r_i\le\frac13\le\max_i r_i
詳しい解説

和が 11 の三つの正数がすべて 1/31/3 より大きいことも、すべて 1/31/3 より小さいこともない。従ってある ri≤1/3r_i\le1/3 とある rj≥1/3r_j\ge1/3 が存在する。