第4問

三角形

P_1P_2P_3

の内部に点

P

をとる。

Q_1,Q_2,Q_3

をそれぞれ

PP_1,PP_2,PP_3

と対辺との交点とする。三つの比

\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3}

のうち、一つは

2

以下で、一つは

2

以上であることを証明せよ。

ステップ 4/5: 求める比に戻す

r_i=\frac{PQ_i}{P_iQ_i}=\frac{PQ_i}{PP_i+PQ_i}\quad\Longrightarrow\quad\frac{PP_i}{PQ_i}=\frac{1-r_i}{r_i}

詳しい解説

$P$ は $P_i$ と $Q_i$ の間にあるので $P_iQ_i=PP_i+PQ_i$ 。 $r_i$ の定義を解けば $PP_i/PQ_i=(1-r_i)/r_i$ となる。