MathLabs

第6問

平面 ϵ\epsilon と、その同じ側にある一直線上にない三点 A,B,CA,B,C を考える。ただし平面 ABCABC は ϵ\epsilon に平行でない。ϵ\epsilon 上に任意の点 A′,B′,C′A',B',C' をとる。L,M,NL,M,N をそれぞれ AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' の中点、GG を三角形 LMNLMN の重心とする。A′,B′,C′A',B',C' が独立に ϵ\epsilon 上を動くときの GG の軌跡を求めよ（LMNLMN が退化する位置は除く）。
ステップ 3/5: 二つの重心として認識する
前のステップ次のステップ
G=12(A+B+C3+A′+B′+C′3)G=\frac12\left(\frac{A+B+C}{3}+\frac{A'+B'+C'}{3}\right)
詳しい解説

T=(A+B+C)/3T=(A+B+C)/3 を ABCABC の重心、T′=(A′+B′+C′)/3T'=(A'+B'+C')/3 を A′B′C′A'B'C' の重心とする。すると G=(T+T′)/2G=(T+T')/2 であり、GG は TT′TT' の中点である。