Math Labs

国際数学オリンピック · 1962年

問題

  1. 第1問十進表記の末尾が 66 であり、この最後の数字を先頭に移すと元の数の4倍になるような最小の自然数を求めよ。解答: 1
  2. 第2問3−x−x+1>12\sqrt{\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}}>\dfrac12 を満たすすべての実数 xx を求めよ。解答: 1
  3. 第3問立方体 ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' の上面を ABCDABCD、下面を A′B′C′D′A'B'C'D' とし、AA は A′A' の真上にあるとする。点 XX は ABCDABCD の周上を等速で動き、点 YY は B′C′CBB'C'CB の周上を同じ速さで動く。両点は同時に AA から BB へ、B′B' から C′C' へ出発する。XYXY の中点の軌跡を求めよ。解答: 1
  4. 第4問cos⁡2x+cos⁡22x+cos⁡23x=1\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1 のすべての実数解を求めよ。解答: 1
  5. 第5問円 KK 上に相異なる3点 A,B,CA,B,C が与えられている。凸四角形 ABCDABCD に内接円をもつような KK 上の点 DD を作図せよ。解答: 1
  6. 第6問二等辺三角形を考える。その外接円の半径を RR、内接円の半径を rr とする。2つの円の中心間の距離 dd が R(R−2r)\sqrt{R(R-2r)} であることを証明せよ。解答: 1
  7. 第7問四面体 SABCSABC は、辺 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体 SABCSABC が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。解答: 1