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第7問

四面体 SABCSABC は、辺 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体 SABCSABC が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。
ステップ 2/6: 面 ABC の内接円断面を使う
前のステップ次のステップ
∣APAB∣=∣APAC∣,∣BPBC∣=∣BPBA∣,∣CPCA∣=∣CPCB∣in △ABC|AP_{AB}|=|AP_{AC}|,\quad |BP_{BC}|=|BP_{BA}|,\quad |CP_{CA}|=|CP_{CB}|\quad\text{in }\triangle ABC
詳しい解説

各面と最小球の断面は、その面の3辺の直線に接する円、すなわち面の内接円である。△ABC\triangle ABC では同一点からの接線長が等しいので、∣APAB∣=∣APAC∣|AP_{AB}|=|AP_{AC}|、∣BPBC∣=∣BPBA∣|BP_{BC}|=|BP_{BA}|、∣CPCA∣=∣CPCB∣|CP_{CA}|=|CP_{CB}| となる。