第7問

四面体

SABC

は、辺

SA,SB,SC,BC,CA,AB

またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体

SABC

が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。

ステップ 3/6: 3辺上の大きい球と比較する

前のステップ次のステップ

|AP_{AB}|=|BP_{AB}|,\quad |BP_{BC}|=|CP_{BC}|,\quad |CP_{CA}|=|AP_{CA}|

詳しい解説

$AB$ について、 $AB$ と $CA,CB$ の延長に接する大きい球の断面は、 $CS$ の延長にも接する同じ球の断面である。この大円と内接円は接線 $AB$ を共有するので、 $AB$ 上の接点は一致し、 $|AP_{AB}|=|BP_{AB}|$ 。 $BC$ と $CA$ でも同じ議論から残り2つの等式を得る。