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第7問

四面体 SABCSABC は、辺 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体 SABCSABC が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。
ステップ 4/6: 面 ABC が正三角形であることを得る
前のステップ次のステップ
∣APAB∣=∣APAC∣=∣BPBC∣=∣BPBA∣=∣CPCA∣=∣CPCB∣⟹AB=BC=CA|AP_{AB}|=|AP_{AC}|=|BP_{BC}|=|BP_{BA}|=|CP_{CA}|=|CP_{CB}|\Longrightarrow AB=BC=CA
詳しい解説

内接円からの3つの等式と大きい球からの3つの等式を合わせると、上の6接線長はすべて等しい。△ABC\triangle ABC の各辺は両端の等しい接線長の和なので、AB=BC=CAAB=BC=CA、したがって △ABC\triangle ABC は正三角形である。