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第7問

四面体 SABCSABC は、辺 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体 SABCSABC が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。
ステップ 6/6: 正四面体の5球を示す
前のステップ次のステップ
rcenter=33rc,router=3rcr_{\mathrm{center}}=\frac{\sqrt3}{3}r_c,\qquad r_{\mathrm{outer}}=\sqrt3r_c
詳しい解説

(b) では正四面体の中心を原点、外接半径を rcr_c とする。中心球の半径は rcenter=3rc/3r_{\mathrm{center}}=\sqrt3r_c/3 であり、各6本の辺の直線までの距離を直接計算すると同じ値になる。4面それぞれについて対面を通る外向き法線上に合同な外球を置く。同じ座標計算で半径は router=3rcr_{\mathrm{outer}}=\sqrt3r_c となり、対称性から6本の辺の延長線すべてに接する。よって中心球1個と外球4個が得られる。