国際数学オリンピック · 1963年

問題

第1問実数 $p$ のどの値に対して方程式 $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x$ は実数解をもつか。また、その解を求めよ。解答: 1
第2問点 $A$ と線分 $BC$ が与えられたとき、線分 $BC$ 上のある点 $X$ に対して $\angle APX=90^\circ$ となる空間内の点 $P$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第3問 $n$ 角形のすべての内角が等しく、連続する辺の長さが $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ を満たすとする。 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ を証明せよ。解答: 1
第4問添字を $5$ を法として考えるとき、 $i=1,\ldots,5$ に対する $x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}$ のすべての実数解 $x_1,\ldots,x_5$ を求めよ。解答: 1
第5問 $\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12$ を証明せよ。解答: 1
第6問5人の生徒 $A,B,C,D,E$ が競技に参加した。第1の予想は順序 $ABCDE$ だったが、誰も予想された位置には着かず、予想で隣り合う二人が実際に隣り合うこともなかった。第2の予想は $DAECB$ であり、ちょうど二人が予想された位置に着き、予想で隣り合う互いに素な二組が実際にも隣り合った。実際の順序を求めよ。解答: 1