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第3問

nn 角形のすべての内角が等しく、連続する辺の長さが a1≥a2≥⋯≥ana_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n を満たすとする。a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n を証明せよ。
ステップ 2/5: 辺ベクトルの閉じた和を射影する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正弦射影は多角形の反対側の方向を対にし、辺長の順序により各差は非負になる。

∑i=1naisin⁡((i−1)θ)=0⟹∑j=1⌊(n−1)/2⌋(aj+1−an−j+1)sin⁡(jθ)=0\sum_{i=1}^{n}a_i\sin((i-1)\theta)=0\Longrightarrow\sum_{j=1}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(a_{j+1}-a_{n-j+1})\sin(j\theta)=0
詳しい解説

第1辺を xx 軸方向に置く。多角形の閉条件は ∑iai(cos⁡((i−1)θ),sin⁡((i−1)θ))=0\sum_i a_i(\cos((i-1)\theta),\sin((i-1)\theta))=0 を与える。正弦成分を取り、方向 jθj\theta と (n−j)θ(n-j)\theta の項を組にすると表示の和になる（nn 偶数で残る方向の正弦は 00）。