MathLabs

第3問

nn 角形のすべての内角が等しく、連続する辺の長さが a1≥a2≥⋯≥ana_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n を満たすとする。a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n を証明せよ。
ステップ 3/5: 各対の差を等号にする
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

非負項の和が0になるには全項が0でなければならない。

aj+1≥an−j+1,sin⁡(jθ)>0⟹aj+1=an−j+1(1≤j≤⌊(n−1)/2⌋)a_{j+1}\ge a_{n-j+1},\quad\sin(j\theta)>0\Longrightarrow a_{j+1}=a_{n-j+1}\quad(1\le j\le\lfloor(n-1)/2\rfloor)
詳しい解説

表示した jj の範囲では 0<jθ<π0<j\theta<\pi なので sin⁡(jθ)>0\sin(j\theta)>0。辺長の順序から aj+1≥an−j+1a_{j+1}\ge a_{n-j+1}、従って各項は非負である。和は 00 だから全ての対の長さが等しく、特に a2=ana_2=a_n。