第3問

n

角形のすべての内角が等しく、連続する辺の長さが

a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n

を満たすとする。

a_1=a_2=\cdots=a_n

を証明せよ。

ステップ 5/5: 閉条件から第1辺を得る

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

残りの辺が全て同じ長さなら、その方向ベクトルの和は第1辺の単位方向の反対になる。

a_1e_0+t(e_1+\cdots+e_{n-1})=(a_1-t)e_0=0\Longrightarrow a_1=t

詳しい解説

連続する辺方向の単位ベクトルを $e_0,e_1,\ldots,e_{n-1}$ とする。 $e_0+\cdots+e_{n-1}=0$ かつ $a_2=\cdots=a_n=t$ なので、閉条件は $a_1e_0+t(e_1+\cdots+e_{n-1})=(a_1-t)e_0=0$ 。従って $a_1=t$ で、全辺が等しい。