MathLabs

第4問

添字を 55 を法として考えるとき、i=1,…,5i=1,\ldots,5 に対する xi+xi+2=yxi+1x_i+x_{i+2}=yx_{i+1} のすべての実数解 x1,…,x5x_1,\ldots,x_5 を求めよ。
ステップ 1/4: 漸化式を展開する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二階漸化式は巡回条件を課す前には二つの自由度をもつ。

x1=s,x2=t,x3=yt−s,x4=(y2−1)t−ys,x5=(1−y2)s+(y3−2y)tx_1=s,\quad x_2=t,\quad x_3=yt-s,\quad x_4=(y^2-1)t-ys,\quad x_5=(1-y^2)s+(y^3-2y)t
詳しい解説

x1=sx_1=s, x2=tx_2=t とおく。xi+2=yxi+1−xix_{i+2}=yx_{i+1}-x_i を順に適用すると、x3=yt−sx_3=yt-s、x4=(y2−1)t−ysx_4=(y^2-1)t-ys、x5=(1−y2)s+(y3−2y)tx_5=(1-y^2)s+(y^3-2y)t を得る。閉条件が y,s,ty,s,t を制限する。