MathLabs

第4問

添字を 55 を法として考えるとき、i=1,…,5i=1,\ldots,5 に対する xi+xi+2=yxi+1x_i+x_{i+2}=yx_{i+1} のすべての実数解 x1,…,x5x_1,\ldots,x_5 を求めよ。
ステップ 2/4: y=2y=2 を分離する
ざっくり言うと

和は五周期の一様な固有モードを検出する。

(y−2)(x1+x2+x3+x4+x5)=0(y-2)(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=0
詳しい解説

五つの式を加えると 2∑xi=y∑xi2\sum x_i=y\sum x_i。y=2y=2 なら定数列 x1=⋯=x5=sx_1=\cdots=x_5=s は解である。零列は任意の yy で解である。