第4問

添字を

5

を法として考えるとき、

i=1,\ldots,5

に対する

x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}

のすべての実数解

x_1,\ldots,x_5

を求めよ。

ステップ 4/4: 黄金比型の場合を分類する

ざっくり言うと

二次式の例外値は二次元の巡回固有空間を、一定値は一次元の固有空間を与える。

y^2+y-1=0\Longrightarrow (x_1,\ldots,x_5)=(s,t,yt-s,-y(s+t),ys-t)

詳しい解説

$y=(-1\pm\sqrt5)/2$ では任意の $s,t\in\mathbb R$ が表示の二パラメータ解を与える。 $y=2$ の解はちょうど $(s,s,s,s,s)$ 。その他の実数 $y$ では $(0,0,0,0,0)$ のみである。