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第5問

cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12 を証明せよ。
ステップ 3/5: 余弦和を明示する
cos⁡2π7+cos⁡4π7+cos⁡6π7+cos⁡8π7+cos⁡10π7+cos⁡12π7=−1\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}=-1
詳しい解説

ωi=cis⁡(2πi/7)\omega^i=\operatorname{cis}(2\pi i/7) なので実部の式は表示した和そのものである。ii と 7−i7-i を組にすると、6項は最初の3項の2倍になる。