MathLabs

第5問

cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12 を証明せよ。
ステップ 4/5: 3つの余弦の恒等式を得る
前のステップ次のステップ
2(cos⁡2π7+cos⁡4π7+cos⁡6π7)=−1⟹cos⁡2π7+cos⁡4π7+cos⁡6π7=−122\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right)=-1\Longrightarrow\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac12
詳しい解説

cos⁡(2π−x)=cos⁡x\cos(2\pi-x)=\cos x なので、対は 2(cos⁡(2π/7)+cos⁡(4π/7)+cos⁡(6π/7))=−12(\cos(2\pi/7)+\cos(4\pi/7)+\cos(6\pi/7))=-1 を与える。22 で割れば上の3余弦和を得る。