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第5問

cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12 を証明せよ。
ステップ 5/5: 補角公式を適用して結論する
前のステップ次のステップ
cos⁡2π7−cos⁡3π7−cos⁡π7=−12⟹cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{\pi}{7}=-\frac12\Longrightarrow\boxed{\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12}
詳しい解説

cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x を使うと、cos⁡(4π/7)=−cos⁡(3π/7)\cos(4\pi/7)=-\cos(3\pi/7)、cos⁡(6π/7)=−cos⁡(π/7)\cos(6\pi/7)=-\cos(\pi/7)。これを3余弦恒等式に代入して両辺を −1-1 倍すれば、求める結果が得られる。