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国際数学オリンピック · 1964年

問題

  1. 第1問(a) 2n−12^n-1 が 77 で割り切れるような正整数 nn をすべて求めよ。(b) 2n+12^n+1 が 77 で割り切れる正整数 nn は存在しないことを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問a,b,ca,b,c を三角形の辺とする。a2(b+c−a)+b2(c+a−b)+c2(a+b−c)≤3abca^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc を証明せよ。解答: 1
  3. 第3問辺が a,b,ca,b,c の三角形 ABCABC に円が内接している。三角形の各辺に平行な接線をこの円に引く。各接線は △ABC\triangle ABC から一つの三角形を切り取り、その三つの三角形にそれぞれ円を内接させる。4つの内接円の面積の和を a,b,ca,b,c で表せ。解答: 1
  4. 第4問17人が互いに、各人が他の全員と郵便で文通している。手紙では3種類の話題だけが扱われ、各文通者の組はただ1つの話題を扱う。互いに同じ話題について書く3人が少なくとも存在することを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問平面上の5点を、これらを結ぶ直線のどの2本も平行、垂直、または一致しないように置く。各点から、他の4点を結ぶすべての直線へ垂線を引く。これらの垂線が持ちうる交点の最大数を求めよ。解答: 1
  6. 第6問四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。解答: 1