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国際数学オリンピック
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1964年
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第1問
第1問
(a)
2
n
−
1
2^n-1
2
n
−
1
が
7
7
7
で割り切れるような正整数
n
n
n
をすべて求めよ。(b)
2
n
+
1
2^n+1
2
n
+
1
が
7
7
7
で割り切れる正整数
n
n
n
は存在しないことを証明せよ。
ステップ 1/4: 剰余の周期を求める
前のステップ
次のステップ
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
1
(
m
o
d
7
)
2^1\equiv2,\quad2^2\equiv4,\quad2^3\equiv1\pmod7
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
1
(
mod
7
)
詳しい解説
2
3
=
8
≡
1
(
m
o
d
7
)
2^3=8\equiv1\pmod7
2
3
=
8
≡
1
(
mod
7
)
なので、さらに
2
2
2
を掛けると正のすべての指数で周期
2
,
4
,
1
2,4,1
2
,
4
,
1
が繰り返される。
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