MathLabs

第6問

四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。
ステップ 2/5: 3つの交点を求める
前のステップ次のステップ
A1=−B−C,B1=−A−C,C1=−A−BA_1=-B-C,\quad B_1=-A-C,\quad C_1=-A-B
詳しい解説

AA を通り DD0DD_0 に平行な直線は A+tD0A+tD_0 である。平面 BCDBCD に入るには AA の係数が0なので t=−3t=-3、従って A1=−B−CA_1=-B-C。巡回的に B1=−A−CB_1=-A-C, C1=−A−BC_1=-A-B を得る。