MathLabs

第6問

四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。
ステップ 3/5: 体積行列を作る
前のステップ次のステップ
M=(−1/3−4/3−4/3−4/3−1/3−4/3−4/3−4/3−1/3)M=\begin{pmatrix}-1/3&-4/3&-4/3\\-4/3&-1/3&-4/3\\-4/3&-4/3&-1/3\end{pmatrix}
詳しい解説

A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 から D0D_0 を引き、得られたベクトルを基底 A,B,CA,B,C で表す。その係数行列が表示の MM であり、元の四面体の行列は単位行列である。