MathLabs

第6問

四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。
ステップ 4/5: 体積を比較する
前のステップ次のステップ
∣det⁡M∣=3|\det M|=3
詳しい解説

(144414441)\begin{pmatrix}1&4&4\\4&1&4\\4&4&1\end{pmatrix} の固有値は 9,−3,−39,-3,-3 なので、∣det⁡M∣=81/27=3|\det M|=81/27=3。従って VA1B1C1D0=3VABCDV_{A_1B_1C_1D_0}=3V_{ABCD} である。