MathLabs

第6問

四面体 ABCDABCD で、DD と △ABC\triangle ABC の重心 D0D_0 を結ぶ。A,B,CA,B,C を通り DD0DD_0 に平行な直線が、それぞれ平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD と交わる点を A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。ABCDABCD の体積が A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 の体積の3分の1であることを証明せよ。D0D_0 を △ABC\triangle ABC 内の任意の点に選んでも成り立つか。
ステップ 5/5: 一般の場合に答える
前のステップ次のステップ
det⁡M(x,y,z)=−(x+y+z)−2=−3\det M(x,y,z)=-(x+y+z)-2=-3
詳しい解説

任意の内部点 D0=xA+yB+zCD_0=xA+yB+zC（x+y+z=1x+y+z=1, x,y,z>0x,y,z>0）では、同じアフィン計算により A1=−(yB+zC)/xA_1=-(yB+zC)/x と巡回式を得る。係数行列式を展開すると det⁡M(x,y,z)=−(x+y+z)−2=−3\det M(x,y,z)=-(x+y+z)-2=-3 となり、体積比は再び 33 である。従って結果は △ABC\triangle ABC 内のすべての点で成り立つ。