MathLabs

第1問

区間 0≤x≤2pi0 \le x \le 2\\pi において、2cosx≤∣sqrt1+sin2x−sqrt1−sin2x∣≤sqrt22\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2} を満たすすべての xx を求めよ。
ステップ 1/4: 根号の差を二乗する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

根号は符号の選択だけを隠しており、二乗すると二倍角の余弦が現れる。

y=∣sqrt1+sin2x−sqrt1−sin2x∣,qquady2=2−2sqrt1−sin22x=2−2∣cos2x∣.y=|\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}|,\\qquad y^2=2-2\\sqrt{1-\\sin^2 2x}=2-2|\\cos 2x|.
最初の境界角における単位円
$\\pi/4$ を示した単位円。符号の区間が変わる角度である。
詳しい解説

二つの根号内は非負である。絶対値差を二乗すると ∣cos2x∣|\\cos 2x| が現れるので、あとは cos2x\\cos 2x の符号で場合分けする。