国際数学オリンピック · 1965年

問題

第1問区間 $0 \le x \le 2\\pi$ において、 $2\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2}$ を満たすすべての $x$ を求めよ。解答: 1
第2問連立方程式 $a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$ , $a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$ , $a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$ を考える。対角係数 $a_{11},a_{22},a_{33}$ は正、その他の係数は負で、各方程式の係数の和は正である。この系が $x_1=x_2=x_3=0$ 以外の解を持たないことを証明せよ。解答: 1
第3問四面体 $ABCD$ の向かい合う辺 $AB$ と $CD$ の長さをそれぞれ $a$ 、 $b$ とする。このねじれの位置にある二直線間の距離は $d$ 、なす角は $\theta$ である。 $AB$ と $CD$ の両方に平行な平面が四面体 ABCD を二つの立体に分ける。この平面から $AB$ 、 $CD$ までの距離の比が $k$ であるとき、二立体の体積比を求めよ。解答: 1
第4問4 個の実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ で、任意の一つと残り三つの積との和が $2$ に等しくなるものをすべて求めよ。解答: 1
第5問 $AOB$ が鋭角である三角形 $\triangle OAB$ を考える。点 $M\ne O$ を通り $OA$ 、 $OB$ に垂直な直線を引き、その足をそれぞれ $P$ 、 $Q$ とする。 $\triangle OPQ$ の垂心を $H$ とする。 $M$ が (a) 辺 $AB$ 、(b) $\triangle OAB$ の内部を動くときの $H$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第6問平面上に $n$ 個の点を取り（ $n\\ge3$ ）、各二点を線分で結ぶ。最長線分の長さを $d$ とし、長さ $d$ の結線分を直径と呼ぶ。直径の本数が高々 $n$ であることを証明せよ。解答: 1