第2問

連立方程式

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0

を考える。対角係数

a_{11},a_{22},a_{33}

は正、その他の係数は負で、各方程式の係数の和は正である。この系が

x_1=x_2=x_3=0

以外の解を持たないことを証明せよ。

ステップ 1/4: 行和条件を書き換える

ざっくり言うと

対角項は反対向きの二つの項を合わせたものより強い。

a_{ii}>0,\\quad a_{ij}<0\\ (i\ne j),\\quad a_{ii}+a_{ij}+a_{ik}>0\\Longrightarrow a_{ii}>|a_{ij}|+|a_{ik}|.

詳しい解説

行 $i$ の二つの非対角成分は負である。したがって行和が正であることは、厳密な対角優位 $a_{ii}>|a_{ij}|+|a_{ik}|$ と同値である。