第2問

連立方程式

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0

を考える。対角係数

a_{11},a_{22},a_{33}

は正、その他の係数は負で、各方程式の係数の和は正である。この系が

x_1=x_2=x_3=0

以外の解を持たないことを証明せよ。

ステップ 2/4: 最大成分を選ぶ

|x_1|=\\max(|x_1|,|x_2|,|x_3|).

詳しい解説

非零解なら変数を入れ替えて $|x_1|$ を最大かつ正とできる。第1式の対角項の大きさは $a_{11}|x_1|$ であり、他の二項の大きさの和は高々 $(|a_{12}|+|a_{13}|)|x_1|$ である。