第2問

連立方程式

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0

を考える。対角係数

a_{11},a_{22},a_{33}

は正、その他の係数は負で、各方程式の係数の和は正である。この系が

x_1=x_2=x_3=0

以外の解を持たないことを証明せよ。

ステップ 3/4: 相殺不可能を示す

|a_{11}x_1|> |a_{12}x_2|+|a_{13}x_3|.

詳しい解説

対角優位と最大性から $a_{11}|x_1|>(|a_{12}|+|a_{13}|)|x_1|\\ge |a_{12}x_2|+|a_{13}x_3|$ である。よって第1式は零に相殺できず、解であることに矛盾する。