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第3問

四面体 ABCDABCD の向かい合う辺 ABAB と CDCD の長さをそれぞれ aa、bb とする。このねじれの位置にある二直線間の距離は dd、なす角は θ\theta である。ABAB と CDCD の両方に平行な平面が四面体 ABCD を二つの立体に分ける。この平面から ABAB、CDCD までの距離の比が kk であるとき、二立体の体積比を求めよ。
ステップ 3/5: 角柱状の立体の体積を求める
前のステップ次のステップ
VWXPBYZ=3k2(k+1)3V.V_{WXPBYZ}=\frac{3k^2}{(k+1)^3}V.
詳しい解説

底面三角形 BYZBYZ は BCDBCD に相似で、面積比は k2/(k+1)2k^2/(k+1)^2 である。この角柱の高さは AA から BCDBCD への高さの 1/(k+1)1/(k+1) である。V=Bh/3V=Bh/3 より、VWXPBYZ=3k2V/(k+1)3V_{WXPBYZ}=3k^2V/(k+1)^3 を得る。