第3問

四面体

ABCD

の向かい合う辺

AB

と

CD

の長さをそれぞれ

a

、

b

とする。このねじれの位置にある二直線間の距離は

d

、なす角は

\theta

である。

AB

と

CD

の両方に平行な平面が四面体 ABCD を二つの立体に分ける。この平面から

AB

、

CD

までの距離の比が

k

であるとき、二立体の体積比を求めよ。

ステップ 4/5: 二つの部分を加える

V_{ABWXYZ}=V_{APWX}+V_{WXPBYZ}=\frac{k^3+3k^2}{(k+1)^3}V=\frac{k^2(k+3)}{(k+1)^3}V.

詳しい解説

元の断面の $AB$ 側にある部分は $ABWXYZ$ で、これはちょうど $APWX$ と $WXPBYZ$ の合併である。二つの体積を加えると表示の $V$ の割合を得る。