第3問

四面体

ABCD

の向かい合う辺

AB

と

CD

の長さをそれぞれ

a

、

b

とする。このねじれの位置にある二直線間の距離は

d

、なす角は

\theta

である。

AB

と

CD

の両方に平行な平面が四面体 ABCD を二つの立体に分ける。この平面から

AB

、

CD

までの距離の比が

k

であるとき、二立体の体積比を求めよ。

ステップ 5/5: 比を取る

V_{other}=V-V_{ABWXYZ}=\frac{3k+1}{(k+1)^3}V\\quad\Longrightarrow\\quad V_{ABWXYZ}:V_{other}=k^2(k+3):(3k+1).

詳しい解説

全体積から先の部分を引けば残りが得られる。共通因子 $V/(k+1)^3$ を消去すると求める比 $k^2(k+3):(3k+1)$ となる。長さ $a,b$ 、距離 $d$ 、角 $\theta$ は結果に影響しない。