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第5問

AOBAOB が鋭角である三角形 △OAB\triangle OAB を考える。点 M≠OM\ne O を通り OAOA、OBOB に垂直な直線を引き、その足をそれぞれ PP、QQ とする。△OPQ\triangle OPQ の垂心を HH とする。MM が (a) 辺 ABAB、(b) △OAB\triangle OAB の内部を動くときの HH の軌跡を求めよ。
ステップ 3/4: 第二の高さを確認する
前のステップ次のステップ
AMMB=YQBQLongrightarrowYQBQ=YHHXLongrightarrowQHparallelBXperpOA.\frac{AM}{MB}=\frac{YQ}{BQ}\\Longrightarrow\frac{YQ}{BQ}=\frac{YH}{HX}\\Longrightarrow QH\\parallel BX\\perp OA.
詳しい解説

MQparallelAYMQ\\parallel AY から同様に AM/MB=YQ/BQAM/MB=YQ/BQ を得る。前の比と合わせて YQ/BQ=YH/HXYQ/BQ=YH/HX、したがって QHparallelBXQH\\parallel BX である。BXperpOABX\\perp OA だから QHQH は三角形 OPQOPQ の QQ からの高さである。