第2問

三角形の辺の長さを

a

、

b

、

c

、対応する角を

\alpha

、

\beta

、

\gamma

とする。

a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)

が成り立つとき、この三角形が二等辺三角形であることを証明せよ。

ステップ 2/6: 加法定理で

a

と

b

ごとにまとめる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$ が $\cos(\theta+\phi)$ であると気づくことで、4つの三角関数の項が2つのすっきりした余弦の因子にまとまる。

a\cos\beta\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right) + b\cos\alpha\cos\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right) = 0

詳しい解説

全ての項を一方の辺に移して因数分解すると、 $a$ に関する項は $a\cos\beta(\cos\alpha\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\alpha\sin\frac{\gamma}{2})$ に、 $b$ に関する項は $b\cos\alpha(\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\beta\sin\frac{\gamma}{2})$ にまとまる。それぞれの括弧は余弦の加法定理により $\cos(\theta+\frac{\gamma}{2})$ に等しく、上記の恒等式が得られる。