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第2問

三角形の辺の長さを aa、bb、cc、対応する角を α\alpha、β\beta、γ\gamma とする。a+b=tan⁡γ2(atan⁡α+btan⁡β)a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right) が成り立つとき、この三角形が二等辺三角形であることを証明せよ。
ステップ 4/6: 式を積の形に因数分解する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2つの余弦が符号だけ異なるとき、まさに2項の和が1つの積に変わる。それが正にステップ3で示されたことである。

cos⁡(α+γ2)(acos⁡β−bcos⁡α)=0\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)\bigl(a\cos\beta - b\cos\alpha\bigr) = 0
詳しい解説

ステップ3の cos⁡(β+γ2)=−cos⁡(α+γ2)\cos(\beta+\frac{\gamma}{2})=-\cos(\alpha+\frac{\gamma}{2}) をステップ2の等式に代入すると acos⁡βcos⁡(α+γ2)−bcos⁡αcos⁡(α+γ2)=0a\cos\beta\cos(\alpha+\frac{\gamma}{2}) - b\cos\alpha\cos(\alpha+\frac{\gamma}{2}) = 0、すなわち上記の積の形になる。