MathLabs

第2問

三角形の辺の長さを aa、bb、cc、対応する角を α\alpha、β\beta、γ\gamma とする。a+b=tan⁡γ2(atan⁡α+btan⁡β)a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right) が成り立つとき、この三角形が二等辺三角形であることを証明せよ。
ステップ 5/6: 各因子から α=β\alpha=\beta を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

積が0になる2つの場合分けはどちらも同じ結論に至るため、場合分けをしても結果の強さは損なわれない。

cos⁡(α+γ2)=0 ⇒ α=β;acos⁡β=bcos⁡α ⇒ sin⁡(α−β)=0 ⇒ α=β\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=0 \ \Rightarrow\ \alpha=\beta; \qquad a\cos\beta=b\cos\alpha \ \Rightarrow\ \sin(\alpha-\beta)=0 \ \Rightarrow\ \alpha=\beta
詳しい解説

第一因子が0ならば α+γ2=π2−β−α2=π2\alpha+\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\pi}{2} となり α=β\alpha=\beta が強制される。一方 acos⁡β=bcos⁡αa\cos\beta=b\cos\alpha の場合、正弦定理より a=2Rsin⁡αa=2R\sin\alpha、b=2Rsin⁡βb=2R\sin\beta なので sin⁡αcos⁡β=sin⁡βcos⁡α\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha、すなわち sin⁡(α−β)=0\sin(\alpha-\beta)=0 となる。α,β∈(0,π)\alpha,\beta\in(0,\pi) で α−β∈(−π,π)\alpha-\beta\in(-\pi,\pi) であるから、これも α=β\alpha=\beta を強制する。