平面への射影は、その平面上にすでにある点までの距離を短くする(あるいは変えない)だけであり、ステップ1より A,B∈ΠA,B\in\PiA,B∈Π である。
任意の点 PPP に対し、PPP から Π\PiΠ に下ろした垂線の足を P′P'P′ とする。∠PP′A=∠PP′B=90°\angle PP'A=\angle PP'B=90°∠PP′A=∠PP′B=90° であるから、ピタゴラスの定理より PA2=PP′2+P′A2≥P′A2PA^2=PP'^2+P'A^2\ge P'A^2PA2=PP′2+P′A2≥P′A2 が成り立ち、BBB についても同様である。等号は P=P′P=P'P=P′ のときに限る。