これは、直線に触れる最短経路を求めるときに使う反射のテクニックと同じである。折れ線 P→C→DP\to C\to DP→C→D を「展開」することで、不等式が通常の三角不等式に変わる。
Π⊥CD\Pi\perp CDΠ⊥CD が XXX で成り立つため、線分 PP′PP'PP′ は CDCDCD に平行であり、したがって P,P′,C,DP,P',C,DP,P′,C,D は同一平面上にある。直線 PP′PP'PP′ に関して CCC を対称移動した点を C′C'C′ とすると PC=PC′PC=PC'PC=PC′ であり、三角不等式 PC′+PD≥C′DPC'+PD\ge C'DPC′+PD≥C′D の等号は P,C′,DP,C',DP,C′,D が一直線上にある(すなわち P=P′P=P'P=P′)ときに限る。P′∈ΠP'\in\PiP′∈Π より P′C=P′DP'C=P'DP′C=P′D なので C′D=P′C′+P′D=P′C+P′DC'D=P'C'+P'D=P'C+P'DC′D=P′C′+P′D=P′C+P′D となり、PC+PD≥P′C+P′DPC+PD\ge P'C+P'DPC+PD≥P′C+P′D を得る。