MathLabs

第3問

正四面体の各頂点から外接球の中心までの距離の和は、これらの頂点から空間内の他のどの点までの距離の和よりも小さいことを証明せよ。
ステップ 4/6: 4つの距離の不等式を足し合わせる
ざっくり言うと

垂直二等分平面がたった1つあるだけで、その外側にあるすべての点は最小点の候補から除外される。

PA+PB+PC+PD≥P′A+P′B+P′C+P′DPA+PB+PC+PD \ge P'A+P'B+P'C+P'D
詳しい解説

ステップ2とステップ3の不等式を足し合わせると、PP をその Π\Pi への射影 P′P' に置き換えても4頂点までの距離の合計は増加しないことがわかる。等号は P∈ΠP\in\Pi のときに限る。