第3問

正四面体の各頂点から外接球の中心までの距離の和は、これらの頂点から空間内の他のどの点までの距離の和よりも小さいことを証明せよ。

ステップ 5/6: 3組の対辺すべてで同じ議論を繰り返す

ざっくり言うと

対辺の組ごとに1つずつ、計3つの独立な制約が、最小点を平面全体ではなくただ1点に絞り込む。

P\in\Pi_{AB,CD}\cap\Pi_{AC,BD}\cap\Pi_{AD,BC}

詳しい解説

正四面体には対辺の組が3つある( $AB\,\&\,CD$ 、 $AC\,\&\,BD$ 、 $AD\,\&\,BC$ )。それぞれが垂直二等分平面を与え、ステップ4よりどの最小点もそこに属さねばならない。正四面体の対称性により、これら3つの平面はちょうど1点、すなわち中心 $O$ で交わる。