第3問

正四面体の各頂点から外接球の中心までの距離の和は、これらの頂点から空間内の他のどの点までの距離の和よりも小さいことを証明せよ。

ステップ 6/6: 中心が真の最小点であると結論づける

ざっくり言うと

この議論全体は常に $\ge$ しか生み出さないが、 $P$ が3つの対称平面のいずれかから外れるとき(それは $P\ne O$ である限り常に起こる)に、真の不等式が現れる。

OA+OB+OC+OD < PA+PB+PC+PD \quad (P\ne O)

詳しい解説

$P\ne O$ である限り、 $P$ はステップ5の3つの平面のうち少なくとも1つには属さないため、その平面に対応するステップ4の不等式は真の不等式になる。したがって $O$ から4頂点までの距離の和は、他のどの点 $P$ からの距離の和よりも真に小さい。