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第4問

任意の自然数 nn と、どの分母も0にならない任意の実数 xx(すなわち t=0,1,…,nt=0,1,\dots,n と整数 kk に対して x≠kπ2tx\ne \frac{k\pi}{2^t})について、次の等式を証明せよ: 1sin⁡2x+1sin⁡4x+1sin⁡8x+⋯+1sin⁡2nx=cot⁡x−cot⁡2nx.\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.
ステップ 1/5: 鍵となる補題を証明する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この一つの恒等式を y=2k−1xy=2^{k-1}x として適用することで、問題中のすべての項に対する望遠鏡和の項が得られる。

cot⁡y−cot⁡2y=1sin⁡2y\cot y - \cot 2y = \frac{1}{\sin 2y}
詳しい解説

cos⁡2y=2cos⁡2y−1\cos 2y=2\cos^2y-1、sin⁡2y=2sin⁡ycos⁡y\sin 2y=2\sin y\cos y を用いて、cot⁡y−cot⁡2y=cos⁡ysin⁡y−cos⁡2ysin⁡2y=cos⁡ysin⁡y−2cos⁡2y−12sin⁡ycos⁡y=2cos⁡2y−(2cos⁡2y−1)2sin⁡ycos⁡y=12sin⁡ycos⁡y=1sin⁡2y\cot y-\cot 2y=\frac{\cos y}{\sin y}-\frac{\cos 2y}{\sin 2y}=\frac{\cos y}{\sin y}-\frac{2\cos^2y-1}{2\sin y\cos y}=\frac{2\cos^2y-(2\cos^2y-1)}{2\sin y\cos y}=\frac{1}{2\sin y\cos y}=\frac{1}{\sin 2y} と計算する。