第4問

任意の自然数

n

と、どの分母も0にならない任意の実数

x

(すなわち

t=0,1,\dots,n

と整数

k

に対して

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

)について、次の等式を証明せよ:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

ステップ 2/5: 各段階

y=2^{k-1}x

で補題を適用する

ざっくり言うと

各項を差の形に書き直すことこそが、望遠鏡和を可能にする。

\frac{1}{\sin 2^kx} = \cot\left(2^{k-1}x\right)-\cot\left(2^kx\right),\quad k=1,\dots,n

詳しい解説

ステップ1の補題に $y=2^{k-1}x$ を代入する。 $k$ が $1,\dots,n$ を動くとき、左辺の各項 $\frac{1}{\sin 2^kx}$ は連続する2つのコタンジェントの差として書き直される。