第4問

任意の自然数

n

と、どの分母も0にならない任意の実数

x

(すなわち

t=0,1,\dots,n

と整数

k

に対して

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

)について、次の等式を証明せよ:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

ステップ 3/5: 和を望遠鏡式に相殺させる

ざっくり言うと

これは標準的な望遠鏡和のパターンである:連続する差の和は「最初の値」引く「最後の値」に帰着する。

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sin 2^kx} = \sum_{k=1}^{n}\left[\cot(2^{k-1}x)-\cot(2^kx)\right] = \cot x - \cot(2^nx)

詳しい解説

ステップ2で書き直した $n$ 個の項を足し合わせると、 $1\le k\le n-1$ の各中間値 $\cot(2^{k}x)$ は $+$ の符号で1回、 $-$ の符号で1回現れて相殺し、最初の項 $\cot x$ と最後の項 $-\cot(2^nx)$ だけが残る。