第4問

任意の自然数

n

と、どの分母も0にならない任意の実数

x

(すなわち

t=0,1,\dots,n

と整数

k

に対して

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

)について、次の等式を証明せよ:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

ステップ 4/5: どの項も未定義にならないことを確かめる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

問題文にある定義域の制約は、証明すべき追加の仮定ではなく、証明中で用いるすべての除算が正当であるためにまさに必要な条件である。

x\ne \frac{k\pi}{2^t}\ (t=0,1,\dots,n,\ k\in\mathbb{Z})

詳しい解説

各ステップでは、 $\sin(2^tx)\ne 0$ について $t=1,\dots,n$ (除算のため)、および $t=0,\dots,n-1$ ( $\sin 2^kx$ が現れるコタンジェントを定義するため)を用いた。問題で与えられた $x$ の制約は、ある $2^tx$ が $\pi$ の倍数になる値をちょうど除外しており、これが上記のすべての分母が0でないことを保証している。