第4問

任意の自然数

n

と、どの分母も0にならない任意の実数

x

(すなわち

t=0,1,\dots,n

と整数

k

に対して

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

)について、次の等式を証明せよ:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

ステップ 5/5: すべての

n

に対して恒等式を述べる

ざっくり言うと

ステップ1〜3の議論は特定の $n$ の値を仮定していないため、同じ計算がすべての $n$ に対して同時に恒等式を証明しており、別途帰納法を用いる必要はない。

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx

詳しい解説

ステップ1〜4はすべての自然数 $n$ とすべての許容される $x$ に対して成り立つので、ステップ3の望遠鏡型の恒等式が、証明すべき等式そのものである。