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第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 1/7: aia_i の順序を固定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

順序を固定することは無料である(単なる名前の付け替えにすぎない)が、これによって各 ∣ai−aj∣|a_i-a_j| が通常の差になり、線形消去が可能になる。

a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4
詳しい解説

このシステムはすべての添字を同時に付け替えても対称であるから、1,2,3,41,2,3,4 を a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4 となるよう付け替えてよい。この順序のもとでは、任意の組に対して ∣ai−aj∣=amax⁡(i,j)−amin⁡(i,j)|a_i-a_j|=a_{\max(i,j)}-a_{\min(i,j)} となり、システムからすべての絶対値が取り除かれる。