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第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 2/7: 式1から式2を引く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

係数の大部分が共通する2つの式を引くと、aia_i の具体的な値に依存する部分が消え、xix_i どうしの純粋な関係だけが残る。

−x1+x2+x3+x4=0-x_1+x_2+x_3+x_4=0
詳しい解説

絶対値を外すと、式1は (a1−a2)x2+(a1−a3)x3+(a1−a4)x4=1(a_1-a_2)x_2+(a_1-a_3)x_3+(a_1-a_4)x_4=1、式2は (a1−a2)x1+(a2−a3)x3+(a2−a4)x4=1(a_1-a_2)x_1+(a_2-a_3)x_3+(a_2-a_4)x_4=1 となる。これらを引き算し a1−a2≠0a_1-a_2\ne0 で割ると −x1+x2+x3+x4=0-x_1+x_2+x_3+x_4=0 が残る。