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第5問

実数 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 が互いに異なるとき、実数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 に関する次の連立方程式を解け: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
ステップ 4/7: 式3から式4を引く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

このような3つの差(ステップ2〜4)によって、一見非線形に見えた元のシステムが、x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4 に関する通常の線形システムに変わる。

−x1−x2−x3+x4=0-x_1-x_2-x_3+x_4=0
詳しい解説

式4は (a1−a4)x1+(a2−a4)x2+(a3−a4)x3=1(a_1-a_4)x_1+(a_2-a_4)x_2+(a_3-a_4)x_3=1 である。式3からこれを引き、a3−a4≠0a_3-a_4\ne0 で割ると −x1−x2−x3+x4=0-x_1-x_2-x_3+x_4=0 を得る。